EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax² + bx + c, com coeficientes numéricos a, b e c com .

Exemplos:

Equação	a	b	C
x² + 2x + 1	1	2	1
5x - 2x² - 1	- 2	5	- 1

Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b = 0

Considere a equação do 2º grau incompleta:

x² - 9 = 0             x² = 9    x =         x =   

2º caso: c = 0

Considere a equação do 2º grau incompleta:

x² - 9x = 0  Basta fatorar o fator comum x

x(x-9) = 0        x = 0, 9

3º caso: b = c = 0

2x² = 0             x = 0

Resolução de equações do 2º grau:

A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax² + bx + c = 0 com a, b e c diferentes de zero.

- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de resolução de equação do 2º grau.

Fórmula de resolução de equações do 2º grau?

Considerando a equação: ax² + bx + c = 0, vamos determinar a fórmula de RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU:

Multiplicamos os dois membros por 4a:

4a²x² + 4abx + 4ac = 0

4a²x² + 4abx = - 4ac

Somamos b² aos dois membros:

4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac

Fatoramos o lado esquerdo e chamamos de (delta)

b² - 4ac:

(2ax+b)² =  

2ax+b =

2ax = - b   

Logo: 

  ou   

Fórmula de resolução de equação do 2 grau: 

   

 Obs.: Nas escolas públicas existem um desnivelamento entre os alunos. A maioria não tem hábito de estudos e por isso não dominam as regras dos sinais. Assim sendo os alunos conseguem maior acertividade quando usarem esse modelo. O denominador será sempre positivo.

Utilizando a fórmula de resolução de equação do 2º grau, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x² - 7x + 2 = 0

 a = 3, b = -7 e c = 2

   = (- 7)²- 4.3.2 = 49 - 24 = 25

Substituindo na fórmula:

  =     

  e    

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: 

 Obs. No modelo abaixo é preciso ficarem bem atentos para o jogo dos sinais. Por isso eu prefiro rodar a equação no início e não no final. 
- x² + 4x – 4 = 0       

+ x² - 4x + 4 = 0                 

2) - x² + 4x – 4 = 0

 a = - 1, b = 4 e c = - 4

  = 4² - 4. - 1. - 4 = 16 - 16 = 0

 Substituindo na fórmula: 

     x=2 
 

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ()

3) 5x² - 6x + 5 = 0

 a = 5 b = - 6 c = 5 

=  (- 6)² - 4. 5. 5 = 36 - 100 = - 64

Note que < 0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.

Logo: vazio

Propriedades:

	Duas raízes reais e diferentes
	Duas raízes reais e iguais
	Nenhuma raiz real

Relações entre coeficientes e raízes 

  

Vamos provar as relações descritas acima:

Dado a equação ax² + bx + c = 0, com  e , suas raízes são: 

   e    

A soma das raízes será: 

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

O produto das raízes será: 

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

Podemos através da equação ax² + bx + c = 0, dividir por a.

Obtendo:     

Substituindo por    e :

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:  

Exemplos:

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² - 4x + 3 = 0

Solução Sendo a = 1, b = - 4 e c = 3: 

  

b) 2x² - 6x - 8 = 0

Sendo a = 2, b = - 6 e c = - 8 

   

c) 4 - x² = 0

Sendo a = - 1, b = 0 e c = 4: 

      

Resolução de equações fracionárias do 2º grau:

Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplos resolvidos:

a)   Onde , pois senão anularia o denominador

Solução Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Então:    

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais: 

  

Aplicando a fórmula de resolução da equação do 2º grau: 

Logo, x = 2 e x` = 4.                         S = {2, - 4}

b)         e    

Solução m.m.c dos denominadores: (x - 1).(x + 2) 

Então:   

Eliminando os denominadores: 

        

* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:

X = - 1             S = {- 1}

Resolução de equações literais do 2º grau:

Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.

Equação	a	b	c
x² - (m+n)x + p = 0	1	-(m+n)	p

Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x² - 3ax + 2a² = 0

Solução Aplicando a fórmula de resolução da equação do 2º grau:

 a = 1, b = - 3a, c = 2a² 

 
, Logo:

x = 2a e x = a            S = {a, 2a}

Resolução de equações biquadradas

Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:

   onde 

Exemplo resolvido:

1) 

Fazendo x² = y, temos 

Substituindo os valores na equação, temos:

y² - 5y + 4 = 0

Aplicando a fórmula de resolução: 

Logo, y = 4 e y`= 1

Voltando a variável x:

Como y=x², temos:

x²=4   e x² = 1 

Então a solução será S = { - 2, - 1, 1, 2}

ou simplesmente    

Bibliografia

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR - PROMOÇÃO - GELSON IEZZI / CARLOS MURAKAMI.