FUNÇÃO DO 1º GRAU CEF 15 TAG

Função do 1º grau

Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:

Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado.

Assim: Dado os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim  .  A correspondência por pares ordenados seria:  

 Noções de função:

Considere os diagramas abaixo: 

Condições de existência:

1) Todos os elementos de x têm um correspondente em y.

(2) Cada elemento de x tem um e somente um correspondente em y.

Analisando os diagramas acima:

O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2).

Logo, somente o diagrama 2 representa uma função.

Domínio, Contradomínio e Imagem.

Observe o diagrama a seguir: 

Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão:

F = {(1,2),(2,3),(3,4)}

O conjunto X = {1,2,3} denomina-se domínio da função f.   D(F) = X

O conjunto Y = {1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.  C(F) = Y

Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f.          f(1) = 2

Ainda, f(2) = 3 e f(3) = 4.

Logo o conjunto das imagens de f e dado por: Im(f) = {2,3,4}

Determinação de função:

Observe: Associe cada elemento de X com o seu consecutivo: 

Associe cada elemento de X com a sua capital. 

3) Determine o conjunto imagem de cada função:

a) D(f) = {1, 2, 3}                  y = f(x) = x + 1                      Im(f) = {2, 3, 4}

f(1) = 1 + 1 = 2                      f(2) = 2 + 1 = 3                      f(3) = 3 + 1 = 4

b) D(f) = {1, 3, 5}                  y = f(x) = x²                            Im(f) = {1, 9, 25}

f(1) = 1² = 1                           f(3) = 3² = 9                           f(5) = 5² = 25

Plano cartesiano 

Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A.

Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas:

x // x' e y // y'

Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x'

Nessas condições, definimos:

- Abscissa de P é um número real representado por P1

- Ordenada de P é um número real representado por P2

- A coordenada de P são números reais x' e y', geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' )

- O eixo das abscissas é o eixo x

- O eixo das ordenadas é o eixo y

- A origem do sistema é o ponto 0

- Plano cartesiano é o plano A.

Função do 1º grau.

Exemplo: Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido.

a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido.

 y = salário fixo + comissão

 y = 500 + 50 x

b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?

 y = 500 + 50 x , onde x = 4

 y = 500 + 50 . 4 = 500 + 200 = 700

c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?

 y = 500 + 50x, onde y = 1000

1000 = 500 + 50x                  50x = 1000 - 500                  50x = 500                  x = 10

A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau, sendo dada por: 

Gráfico da função do 1º grau: 

O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.

Exemplo:

1) Construa o gráfico da função determinada por f(x) = x + 1: 

Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

                                                          

2) Construa o gráfico da função determinada por f(x) = - x + 1.

Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

Gráficos crescente e decrescente respectivamente:

y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1 

y = - x + 1 ( a < 0 ); onde a = - 1 

Raiz ou zero da função do 1º grau:

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y = ax + b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x, 0).

1) Considere a função dada pela equação y = x + 1, determine a raiz desta função.

Basta determinar o valor de x para termos y = 0

 x + 1=0 » x= - 1

Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função. 

Note que o gráfico da função y = x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em - 1, que é a raiz da função.

2) Determine a raiz da função y = -x + 1 e esboce o gráfico.

Fazendo y = 0, temos: 0 = - x+1 » x = 1

Gráfico:

Note que o gráfico da função y = -x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.

Sinal de uma função de 1º grau:

Observe os gráficos: 

Note que para x = - b/a, f(x) = 0 (zero da função). Para x > - b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x < - b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.

Exemplos:

1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x) > 0 e f(x) < 0.

a) y = f(x) = x + 1                  x + 1 > 0                      x > - 1

Logo, f(x) será maior que 0 quando x > - 1

 x + 1 < 0                    x < - 1

Logo, f(x) será menor que 0 quando x < - 1

b) y = f(x) = - x + 1

- x + 1 > 0                   - x > - 1                       x < 1

Logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1

- x + 1 < 0                   - x < - 1                      x > 1 ( - 1 )

Logo, f(x) será menor que 0 quando x > 1

(ao multiplicar por - 1, inverte-se o sinal da desigualdade)

Função do 1º grau

EXERCICIOS

1) Represente graficamente a função definida por:

a) f(x) = 2x - 1

b) f(x) = - 1/2x + 3

c) f(x) = 4x

d) f(x) = 1/3x + 2

e) f(x) = -3x + 6

2) Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equações:

a) f(x) = 2x + 5

b) f(x) = - x + 2

c) f(x) = 1/3x + 3

d) f(x) = 1 - 5x

e) f(x) = 4x

BIBLIOGRAFIA:

IEZZI, Gelson e DOLCE, Oswaldo e

DEGENSZAJN, David Mauro e

PÉRIGO, Roberto. Matemática: volume

único. São Paulo, Atual, 1997.