CONCRUÊNCIA

COMO CONSTRUIR FIGURAS CONGRUENTES

- TRIÂNGULOS

Na Geometria Plana é dito que dois triângulos são congruentes quando os lados e ângulos do primeiro triângulo estão em correspondência com os lados e ângulos do segundo triângulo de tal forma que os lados em correspondência têm a mesma medida, assim como os ângulos. Assim, para determinar a congruência de dois triângulos olhamos para seis elementos em cada triângulo (três lados e três ângulos)e comparamos as medidas.

Caso 1: L A L 

LAL - lado, ângulo, lado - Imagine duas varetas e um ângulo qualquer fixo entre elas. Quantos triângulos podemos construir com este material? 

Passo 1: sobre uma reta transportamos o segmento CD 

Passo 2: transportamos o ângulo dado de modo que um dos lados do ângulo coincida com a semi-reta CD 

Passo 3: sobre a outra semi-reta determinada pelo ângulo transportado, transportamos agora o segmento AB 

Passo 4: vemos acima que o segmento BD está completamente determinado.

Observe que os ângulos b e c também ficam completamente determinados

Caso 2: LLL 

LLL - lado, lado, lado - Imagine três varetas de comprimentos diferentes. Quantos triângulos podemos construir com estas varetas? Dadas três varetas é sempre possível construir um triângulo?

Passo 1 sobre uma reta transportamos o segmento AB.

Passo 2: construimos circunferências com centro em A e B e raios CD e EF, respectivamente. 

 

Passo 3: a partir do ponto determinado pela intersecção das circunferências traçamos os segmentos com origem neste ponto e extremidades nos pontos A e B. Estes segmento têm claramente comprimentos CD e EF respectivamente. 

Observe que os ângulos ficam completamente determinados

Caso 3: A L A 

ALA - ângulo, lado, ângulo - Quantos triângulos seríamos capazes de construir com estes três elementos dados?

Passo 1: sobre uma reta transportamos um dos ângulos. 

 

Passo 2: sobre um dos lados do ângulo transportamos o segmento AB, com uma das suas extremidades no vértice do ângulo. 

Passo 3: transportamos o outro ângulo, com um dos lados sobre a semi-reta BA e com o vértice em B 

Passo 4: podemos ver agora que o terceiro vértice do triângulo já está completamente determinado. Resta-nos traçar os segmentos. 

Observe que os outros dois lados e o terceiro ângulo ficam completamente determinados

É importante lembrarmos que a ordem em que aparecem os elementos é de fundamental importância para que tenhamos, de fato, triângulos congruentes.

Podemos ter triângulos com 2 lados e 1 ângulo iguais e a congruência não se verificar.

É possível termos também caso em que 5 elementos nos dois triângulos são iguais (3 ângulos e 2 lados) e mesmo assim não termos a congruência entre esses triângulos. Os critérios nos garantem que conhecendo três de certos elementos do triângulo, numa certa ordem, podemos calcular os demais.

E para isto basta usarmos o Teorema de Pitágoras, as Leis dos Senos e Cossenos e o Teorema dos 180 graus.

Usando material concreto (varetas) nos convencemos de que os critérios acima funcionam. Com isso fica fácil construirmos dois triângulos congruentes.

Construir figuras congruentes mesmo que não tenham lados ou ângulos. Vamos aqui construir tais figuras usando instrumentos especiais.

Critério LLL (lado/lado/lado) - Se dois triângulos tiverem os três lados respectivamente iguais, então os triângulos são iguais; 

Critério LAL (lado/ângulo/lado) - se dois triângulos têm, de um para o outro, dois lados iguais e o ângulo por eles formado também igual, então os triângulos são iguais. 

Critério ALA (ângulo/lado/ângulo) - se dois triângulos tiverem um lado e os dois ângulos que lhe são adjacentes respectivamente iguais, então os triângulos são iguais. 

Desigualdade triangular - num triângulo, cada lado é menor do que a soma dos outros dois, ou, o caminho mais curto entre dois pontos é o do segmento de recta que os une.

Lados de um ângulo - são duas semi-rectas com a mesma origem.

Ângulos geometricamente iguais - são ângulos que têm a mesma amplitude.

Ângulos verticalmente opostos - são ângulos que têm o mesmo vértice e os lados de um ângulo estão no prolongamento dos lados do outro.

Ângulos adjacentes - têm o mesmo vértice e têm um lado comum que os separa.

Ângulos complementares - são ângulos cuja a sua soma é 90º.

Ângulos suplementares - são ângulos cuja a sua soma é 180º.

Ângulos internos de um triângulo - são ângulos formados pelos lados de um triângulo e que estão no seu interior.

BIBLIOGRAFIA

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. 3 vols. São Paulo: Ática, 2003. [Submarino] [Livraria Cultura]

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. 4 vols. São Paulo: Ática. [Submarino] [Livraria Cultura]

IEZZI, G. et al. Fundamentos de Matemática Elementar. 11 vols. São Paulo: Atual.