SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU CEF 15 TAG III BIMESTRE

Equações do 2° grau

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas.

Veja: 2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nesta equação, onde uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, onde o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0

4² – 10 * 4 + 24 = 0

16 – 40 + 24 = 0

–24 + 24 = 0

0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0

6² – 10 * 6 + 24 = 0

36 – 60 + 24 = 0

– 24 + 24 = 0  
0 = 0 (verdadeiro)  

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornem a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Vamos determinar pelo método resolutivo de sistema os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. 
Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.

1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆) ∆ = b² – 4 * a * c ∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3) ∆ = 4 + 12 ∆ = 16

2º passo:

Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.

Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:

Coeficientes numéricos a = 1 b = 8 c = 16 1º passo: ∆ = b² – 4 * a * c ∆ = 8² – 4 * 1 * 16 ∆ = 64 – 64 ∆ = 0

2º passo:

No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.

Exemplo 3

Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

∆ = b² – 4 * a * c

∆ = 6² – 4 * 10 * 10

∆ = 36 – 400

∆ = – 364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é igual ou menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.

Como resolver

Para resolver sistemas de equações do 2º grau, é importante dominar as técnicas de resolução de sistema de 1º grau: método da adição e método da substituição.

1) Imagine o seguinte problema: dois irmãos possuem idades cuja soma é 10 e a multiplicação 16. Qual a idade de cada irmão?

Equacionando:

Pela primeira equação, que vamos chamar de I:

Substituindo na segunda:

Logo:

Usando a fórmula:

Logo:

 

Substituindo em I:

 


As idades dos dois irmãos são, respectivamente, de 2 e 8 anos. Testando:

a multiplicação de 2 X 8 = 16 e a soma 2 + 8 = 10.

2) Encontre dois números cuja diferença seja 5 e a soma dos quadrados seja 13.

Da primeira, que vamos chamar de II:

Aplicando na segunda:

De Produtos notáveis:

Dividindo por 2:

Logo:

Substituindo em II:

 

Substituindo em II:

Os números são 3 e - 2 ou 2 e - 3.